Уравнение Четвертой Степени: Обзор и Калькулятор
Уравнение четвертой степени (или квартическое уравнение) — это полиномиальное уравнение, в котором наивысшая степень неизвестной переменной $x$ равна 4. Общий вид такого уравнения выглядит так:
$$a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0$$
Где $a, b, c, d, e$ — это коэффициенты, а $a \neq 0$. Согласно основной теореме алгебры, такое уравнение всегда имеет четыре корня. Эти корни могут быть действительными или комплексными, различными или совпадающими.
Преимущества нашего онлайн-калькулятора
Наш инструмент разработан для быстрого и точного решения биквадратных уравнений — наиболее распространенной и важной разновидности квартических уравнений.
- Биквадратное уравнение — это уравнение четвертой степени, в котором коэффициенты при нечетных степенях равны нулю, то есть $b=0$ и $d=0$.
| Параметр | Уравнение | Коэффициенты, которые нужно обнулить |
| Общее | $a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0$ | — |
| Биквадратное | $a x^4 + c x^2 + e = 0$ | $b=0$, $d=0$ |
Метод Решения (Пошаговая логика)
Решение биквадратного уравнения всегда сводится к решению квадратного. Этот процесс происходит в три ключевых этапа, которые наш калькулятор отображает в результатах:
- Замена переменной (Substitution):Вводится новая переменная $y$, которая равна квадрату $x$:$$y = x^2$$
- Решение квадратного уравнения для $y$:Подставляя $y$ в биквадратное уравнение, мы получаем стандартное квадратное уравнение:$$a y^2 + c y + e = 0$$Корни $y_{1,2}$ находятся через дискриминант $D$ по известной формуле:$$D = c^2 — 4 a e$$$$y_{1,2} = \frac{-c \pm \sqrt{D}}{2 a}$$
- Обратная замена и нахождение корней $x$:Получив корни $y_1$ и $y_2$, мы возвращаемся к исходной переменной $x$: $x = \pm \sqrt{y}$.
- Если $y > 0$, получаем два действительных корня: $x = \pm \sqrt{y}$.
- Если $y = 0$, получаем один действительный корень: $x = 0$.
- Если $y < 0$, получаем два чисто мнимых (комплексных) корня: $x = \pm \sqrt{|y|} i$.
Пример расчета
Рассмотрим классический пример, который вы можете ввести в калькулятор:
Уравнение: $x^4 — 10 x^2 + 9 = 0$ (где $a=1, c=-10, e=9$).
- Квадратное уравнение для $y$:$y^2 — 10 y + 9 = 0$
- Находим $y$:$D = (-10)^2 — 4(1)(9) = 100 — 36 = 64$.$y_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2} = 9$$y_2 = \frac{10 — \sqrt{64}}{2} = 1$
- Находим $x$:
- Из $y_1 = 9$: $x = \pm \sqrt{9} \implies \mathbf{x_1 = 3, x_2 = -3}$
- Из $y_2 = 1$: $x = \pm \sqrt{1} \implies \mathbf{x_3 = 1, x_4 = -1}$
Наш калькулятор не только выдаст эти четыре действительных корня, но и покажет промежуточное уравнение для $y$ и его корни.
Когда использовать наш калькулятор?
Наш калькулятор идеален для решения уравнений, которые встречаются в школьной программе и большинстве технических задач:
- Когда вам нужно найти до 4 действительных или комплексных корней.
- Когда уравнение является биквадратным ($a x^4 + c x^2 + e = 0$).
- Когда вам необходимо быстро проверить домашнюю работу или результаты теста.
Введите коэффициенты $a, b, c, d, e$ в соответствующие поля и нажмите «Рассчитать», чтобы мгновенно получить точный результат!