Калькулятор Комплексных Чисел Онлайн: Решение, Модуль и Тригонометрическая форма

Онлайн-калькулятор операций с комплексными числами

Комплексные числа — это расширение множества вещественных чисел, которое позволяет решать задачи, недоступные в обычной алгебре (например, извлекать квадратный корень из отрицательного числа). Наш сервис позволяет мгновенно выполнять любые арифметические операции с ними, предоставляя подробный ответ в алгебраической и тригонометрической формах.

Что такое комплексное число?

Комплексное число записывается в алгебраической форме как:

$$z = a + bi$$

Где:

• $a$ — действительная часть (Re).
• $b$ — мнимая часть (Im).
• $i$ — мнимая единица, обладающая свойством $i^2 = -1$.

Возможности калькулятора

Инструмент поддерживает все базовые и продвинутые операции:

1. Арифметика: Сложение, вычитание, умножение и деление двух комплексных чисел.
2. Квадратный корень: Нахождение корней из комплексного числа (включая корни из отрицательных вещественных чисел).
3. Анализ: Вычисление модуля $|z|$ и главного аргумента $\varphi$.
4. Конвертация: Автоматический перевод из алгебраической формы в тригонометрическую.

Формулы и правила вычислений

Для тех, кто изучает высшую математику, полезно знать, как именно происходят вычисления.

Сложение и Вычитание

Самые простые операции. Действительные части складываются с действительными, а мнимые — с мнимыми.

$$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$$

Умножение

Производится путем раскрытия скобок, учитывая, что $i^2 = -1$.

$$(a + bi) \cdot (c + di) = (ac — bd) + (ad + bc)i$$

Деление

Для деления необходимо умножить числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю ($c — di$), чтобы избавиться от мнимой части внизу дроби.

$$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(ac + bd) + (bc — ad)i}{c^2 + d^2}$$

Модуль, Аргумент и Тригонометрическая форма

Любое комплексное число можно представить не только как точку на плоскости с координатами $(a, b)$, но и через длину вектора (модуль) и угол его наклона (аргумент).

1. Модуль числа ($|z|$ или $r$):

Это расстояние от начала координат до точки. Рассчитывается по теореме Пифагора:

$$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

2. Аргумент ($\varphi$):

Это угол между положительной полуосью $X$ и вектором числа.

$$\varphi = \arctan \left( \frac{b}{a} \right)$$

3. Тригонометрическая форма записи:

Зная модуль и аргумент, число можно записать в виде:

$$z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$$

Таблица примеров

В таблице ниже показаны примеры того, как калькулятор обрабатывает различные входные данные:

Используйте форму выше для мгновенного получения точных результатов без необходимости выполнять сложные вычисления с дробями и корнями вручную.