Калькулятор обратной матрицы: Найдите $A^{-1}$ с пошаговым решением
Наш онлайн-калькулятор позволяет мгновенно найти обратную матрицу (обозначается как $A^{-1}$) для квадратных матриц размером 2×2 или 3×3.
Обратная матрица — это фундаментальное понятие в линейной алгебре. Для квадратной матрицы $A$ ее обратной матрицей $A^{-1}$ называется такая матрица, при умножении на которую (в любом порядке) получается единичная матрица $I$:
$$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$$
Наш калькулятор использует классический (алгебраический) метод, который позволяет не просто получить ответ, но и увидеть все ключевые шаги вычислений. Это идеальный инструмент для студентов, инженеров и всех, кто работает с матричными уравнениями, для быстрой проверки своих расчетов.
Главное условие: Определитель матрицы ($\det(A)$)
Первое и самое важное правило: обратная матрица существует только для невырожденных (несингулярных) матриц.
- Матрица является невырожденной, если ее определитель не равен нулю ($\det(A) \ne 0$).
- Если $\det(A) = 0$, матрица называется вырожденной (сингулярной), и для нее обратной матрицы не существует.
Наш калькулятор автоматически вычисляет определитель на первом шаге и немедленно сообщит, если решение невозможно.
Как найти обратную матрицу: Пошаговый метод
Калькулятор следует классической формуле нахождения обратной матрицы, которая включает в себя три этапа:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot adj(A)$$
Где:
- $\det(A)$ — определитель матрицы A.
- $adj(A)$ — союзная (или присоединенная) матрица, которая является транспонированной матрицей алгебраических дополнений ($C^T$).
Шаг 1: Вычисление определителя $\det(A)$
Для матрицы 2×2 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$:
$$\det(A) = ad — bc$$
Для матрицы 3×3 (по правилу Саррюса или разложением по строке):
$$\det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} — a_{23}a_{32}) — a_{12}(a_{21}a_{33} — a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} — a_{22}a_{31})$$
Шаг 2: Построение матрицы алгебраических дополнений ($C$)
Каждый элемент $C_{ij}$ матрицы $C$ является алгебраическим дополнением (кофактором) к элементу $a_{ij}$ исходной матрицы. Он вычисляется по формуле:
$$C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$$
Здесь $M_{ij}$ — это минор, то есть определитель матрицы, полученной вычеркиванием $i$-й строки и $j$-го столбца из $A$.
- Для 2×2: $C = \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{21} \\ -a_{12} & a_{11} \end{pmatrix}$
- Для 3×3: Это 9 отдельных расчетов миноров 2×2.
Наш калькулятор выводит эту матрицу ($C$) как «Матрица доп. (Cofactors)».
Шаг 3: Нахождение союзной матрицы ($adj(A)$)
Союзная (или присоединенная) матрица — это просто транспонированная матрица алгебраических дополнений ($adj(A) = C^T$). Строки и столбцы меняются местами.
| Матрица дополнений (C) | Союзная матрица (adj(A)=CT) |
| $\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22} \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} \\ C_{12} & C_{22} \end{pmatrix}$ |
| $\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{pmatrix}$ |
Калькулятор показывает этот шаг как «Союзная матрица (adj(A))».
Шаг 4: Финальный расчет $A^{-1}$
На последнем этапе мы делим каждый элемент союзной матрицы $adj(A)$ на ранее найденный определитель $\det(A)$. Это и есть искомая обратная матрица.
Проверка результата: $A \cdot A^{-1} = I$
Чтобы гарантировать точность, наш калькулятор выполняет автоматическую проверку. Он умножает исходную матрицу $A$ на полученную обратную матрицу $A^{-1}$.
В результате вы должны получить единичную матрицу ($I$) — матрицу, где по главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю.
- Для 2×2: $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
- Для 3×3: $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Этот шаг дает вам 100% уверенность в правильности ответа.
Как пользоваться калькулятором
- Выберите размер: Укажите размер вашей матрицы (2×2 или 3×3).
- Заполните поля: Введите значения элементов вашей матрицы $A$ в соответствующие ячейки.
- Нажмите «Рассчитать»: Калькулятор мгновенно вычислит и отобразит все шаги: $\det(A)$, матрицу дополнений, союзную матрицу, обратную матрицу $A^{-1}$ и проверку $A \cdot A^{-1}$.