Что такое Ранг Матрицы и как его найти?
Ранг матрицы — одно из фундаментальных понятий в линейной алгебре. Говоря простым языком, ранг матрицы (обозначается как $Rank(A)$) — это максимальное число линейно независимых строк (или столбцов) этой матрицы.
Ранг показывает «размерность» пространства, которое описывает матрица. Он является ключевым показателем для решения систем линейных уравнений (СЛУ) и определения, является ли матрица обратимой.
Наш онлайн-калькулятор позволяет мгновенно найти ранг для квадратных матриц 2×2 и 3×3, используя метод определения миноров, а также вычисляет определитель (детерминант), который напрямую связан с рангом.
Как пользоваться калькулятором
- Выберите размер: Укажите размер вашей матрицы (2×2 или 3×3).
- Заполните элементы: Введите числовые значения в ячейки матрицы.
- Нажмите «Рассчитать»: Калькулятор мгновенно вычислит ранг, определитель и даст текстовую интерпретацию результата.
Как найти ранг матрицы (Методы)
Ранг матрицы можно найти несколькими способами. Наш калькулятор использует комбинацию методов миноров и определителя, так как это самый быстрый способ для матриц 2×2 и 3×3.
Метод 1: Через Определитель (Детерминант)
Это самый быстрый способ для квадратных матриц.
- Для матрицы 3×3:
- Сначала вычисляется главный определитель (детерминант) $\det(A)$.
- Если $\det(A) \neq 0$, то все строки линейно независимы, и ранг равен 3 (полный ранг).
- Если $\det(A) = 0$, то матрица вырожденная, и ее ранг меньше 3 (т.е. 2, 1 или 0).
- Для матрицы 2×2:
- Вычисляется определитель $\det(A) = a_{11}a_{22} — a_{12}a_{21}$.
- Если $\det(A) \neq 0$, ранг равен 2.
- Если $\det(A) = 0$, ранг меньше 2 (1 или 0).
Метод 2: Метод Окаймляющих Миноров
Если главный определитель равен нулю, ранг нужно искать дальше, проверяя «миноры» — определители матриц меньшего размера.
Порядок определения ранга для 3×3:
- Проверка на Ранг 3: Вычисляем определитель $\det(A)$ 3×3.
- Если $\det(A) \neq 0$, $Rank(A) = 3$.
- Если $\det(A) = 0$, переходим к Шагу 2.
- Проверка на Ранг 2: Мы должны проверить все миноры 2×2 (их всего 9).
- Если хотя бы один минор 2×2 (определитель 2×2) не равен нулю, $Rank(A) = 2$.
- Если все миноры 2×2 равны нулю, переходим к Шагу 3.
- Проверка на Ранг 1: Мы проверяем все элементы (миноры 1×1).
- Если хотя бы один элемент матрицы не равен нулю, $Rank(A) = 1$.
- Если все элементы матрицы равны нулю (нулевая матрица), $Rank(A) = 0$.
Пример расчета ранга 3×3
Допустим, у нас есть матрица:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$
Шаг 1. Считаем определитель 3×3
$$\det(A) = 1(1 \cdot 4 — 1 \cdot 3) — 2(1 \cdot 4 — 1 \cdot 2) + 3(1 \cdot 3 — 1 \cdot 2)$$
$$\det(A) = 1(1) — 2(2) + 3(1) = 1 — 4 + 3 = 0$$
Вывод 1: Определитель равен 0. Ранг матрицы меньше 3.
Шаг 2. Считаем миноры 2×2
Возьмем первый попавшийся минор (верхний левый угол):
$$M_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 — 1 \cdot 3 = 1$$
Вывод 2: Так как мы нашли минор 2×2, который не равен нулю ( $1 \neq 0$ ), дальнейшие проверки не нужны.
Итоговый Ранг (Rank(A)) = 2.
Свойства Ранга Матрицы
Ранг матрицы имеет несколько важных свойств, которые полезно знать:
| Свойство | Описание |
| Неизменность | Ранг не меняется при транспонировании матрицы ( $Rank(A) = Rank(A^T)$ ). |
| Ранг 0 | Ранг равен 0 только для нулевой матрицы (где все элементы 0). |
| Полный ранг | Если ранг квадратной матрицы $n \times n$ равен $n$, она называется невырожденной (имеет обратную матрицу). |
| Вырожденность | Если $Rank(A) < n$, матрица вырожденная (определитель 0, обратной матрицы нет). |
| Предел ранга | Ранг матрицы не может превышать ее наименьший размер (т.е. $Rank(A) \le \min(m, n)$). |