Калькулятор Уравнения Плоскости по Трем Точкам (Онлайн)

Калькулятор Уравнения Плоскости по 3 Точкам

В трехмерном пространстве любая плоскость может быть однозначно задана, если известны три точки, которые на ней лежат, при условии, что они не находятся на одной прямой (не коллинеарны).

Этот калькулятор — инструмент для студентов, инженеров и математиков, позволяющий мгновенно найти общее (или декартово) уравнение плоскости по координатам трех точек $M_1$, $M_2$ и $M_3$.

Общее уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат имеет следующий вид: $Ax + By + Cz + D = 0$.

Где:

• $x, y, z$ — переменные, соответствующие координатам любой точки на плоскости.
• $A, B, C$ — коэффициенты, которые представляют собой координаты вектора нормали ($\vec{N}$). Это вектор, перпендикулярный плоскости.
• $D$ — свободный коэффициент, определяющий смещение плоскости относительно начала координат.

Метод Расчета: Как найти уравнение?

Калькулятор использует стандартный метод векторной алгебры. Процесс состоит из нескольких ключевых шагов, которые также отображаются в результатах расчета для вашего удобства.

Шаг 1: Определение векторов на плоскости

Чтобы найти плоскость, нам нужны два вектора, лежащие в этой плоскости. Мы можем создать их, используя три наши точки: $M_1(x_1, y_1, z_1)$, $M_2(x_2, y_2, z_2)$ и $M_3(x_3, y_3, z_3)$.

• Вектор 1 (M₁M₂): $\vec{V_1} = \{x_2 — x_1, y_2 — y_1, z_2 — z_1\}$
• Вектор 2 (M₁M₃): $\vec{V_2} = \{x_3 — x_1, y_3 — y_1, z_3 — z_1\}$

Шаг 2: Нахождение Вектора Нормали ($\vec{N}$)

Вектор нормали ($\vec{N} = \{A, B, C\}$) по определению перпендикулярен обоим векторам $\vec{V_1}$ и $\vec{V_2}$, лежащим в плоскости. Мы находим его с помощью векторного произведения ($\vec{V_1} \times \vec{V_2}$).

Векторное произведение рассчитывается через определитель матрицы: $\vec{N} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ V_{1x} & V_{1y} & V_{1z} \\ V_{2x} & V_{2y} & V_{2z} \end{vmatrix}$.

Раскрывая определитель, мы получаем коэффициенты $A, B, C$:

• $A = (V_{1y} \cdot V_{2z} — V_{1z} \cdot V_{2y})$
• $B = (V_{1z} \cdot V_{2x} — V_{1x} \cdot V_{2z})$
• $C = (V_{1x} \cdot V_{2y} — V_{1y} \cdot V_{2x})$

Шаг 3: Расчет коэффициента D

Теперь у нас есть $A, B$ и $C$. Чтобы найти $D$, мы берем любую из наших исходных точек (например, $M_1$) и подставляем ее координаты в уравнение: $A \cdot x_1 + B \cdot y_1 + C \cdot z_1 + D = 0$.

Отсюда легко выразить $D$: $D = -(Ax_1 + By_1 + Cz_1)$.

Шаг 4: Упрощение (Нормализация)

Калькулятор приводит полученное уравнение $Ax + By + Cz + D = 0$ к каноническому виду. Он находит Наибольший Общий Делитель (НОД) для всех четырех коэффициентов (A, B, C, D) и делит уравнение на него.

Пример:

Если расчет дал $26x — 4y — 2z — 64 = 0$, калькулятор найдет НОД (равный 2) и упростит уравнение до:

$13x — 2y — z — 32 = 0$.

Особые случаи (Коллинеарность)

Для построения уникальной плоскости три точки не должны лежать на одной прямой.

Что произойдет, если они лежат на одной прямой?

В обоих этих случаях калькулятор сообщит об ошибке, так как через одну прямую (или одну точку) можно провести бесконечное множество плоскостей.