Решение системы линейных уравнений 2×2 методом Крамера
Система линейных уравнений (СЛУ) — это набор из $m$ уравнений с $n$ неизвестными, где каждое уравнение является линейным. Наш онлайн-калькулятор предназначен для быстрого и точного решения систем размером 2×2 (две переменные и два уравнения), используя классический и надежный Метод Крамера.
Использование калькулятора позволяет не только получить ответ, но и увидеть все промежуточные шаги, включая расчет определителей, что крайне важно для учебных целей и проверки самостоятельных работ.
Общий вид системы 2×2
Любая система линейных уравнений с двумя переменными ($x$ и $y$) может быть представлена в следующем общем виде, где $a_i$, $b_i$ — коэффициенты при переменных, а $c_i$ — свободные члены:
$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$
Как работает Метод Крамера
Метод Крамера основан на вычислении трех основных определителей, что позволяет быстро и однозначно найти решение системы (при условии, что главный определитель не равен нулю).
1. Главный определитель системы ($\Delta$)
Главный определитель составляется из коэффициентов при переменных ($x$ и $y$):
$$\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 — a_2b_1$$
2. Определитель по переменной $x$ ($\Delta_x$)
Определитель $\Delta_x$ получается заменой первого столбца (коэффициентов $a_1$, $a_2$) на столбец свободных членов ($c_1$, $c_2$):
$$\Delta_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1b_2 — c_2b_1$$
3. Определитель по переменной $y$ ($\Delta_y$)
Определитель $\Delta_y$ получается заменой второго столбца (коэффициентов $b_1$, $b_2$) на столбец свободных членов ($c_1$, $c_2$):
$$\Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1c_2 — a_2c_1$$
Формулы для нахождения решения
Если главный определитель $\Delta \ne 0$ (не равен нулю), то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:
$$x = \frac{\Delta_x}{\Delta}$$
$$y = \frac{\Delta_y}{\Delta}$$
Три возможных случая решения СЛУ
Важнейшее преимущество Метода Крамера — это возможность быстро определить тип решения системы, опираясь на значения определителей.
| Значение Δ | Значения Δx и Δy | Тип решения | Пояснение |
| $\Delta \ne 0$ | Любые | Единственное решение | Система является совместной и определенной. $x$ и $y$ рассчитываются по формулам Крамера. |
| $\Delta = 0$ | $\Delta_x = 0$ и $\Delta_y = 0$ | Бесконечное множество | Система является совместной и неопределенной. Уравнения линейно зависимы (графики совпадают). |
| $\Delta = 0$ | Хотя бы один из $\Delta_x$ или $\Delta_y \ne 0$ | Нет решений | Система является несовместной (противоречивой). Линии на графике параллельны. |
Преимущества онлайн-калькулятора
Наш инструмент не просто выдает ответ, но и проводит полный анализ системы, что делает его незаменимым помощником для студентов и инженеров:
- Мгновенная Валидация: Проверка введенных данных и автоматическое определение типа решения (единственное, бесконечное или нет решений).
- Полная Детализация: Расчет и вывод всех трех определителей ($\Delta$, $\Delta_x$, $\Delta_y$).
- Точность: Использование математически точных алгоритмов для избежания вычислительных погрешностей, особенно при работе с дробными числами.
- Удобство: Интуитивно понятный интерфейс с четким разделением полей ввода для каждого коэффициента $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$.
Чтобы начать расчет, просто введите коэффициенты вашей системы уравнений в соответствующие поля и нажмите кнопку «Рассчитать».