Онлайн-калькулятор СЛУ: Решение систем с тремя неизвестными
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) третьего порядка — это фундаментальная часть высшей математики, которая находит применение в физике, экономическом моделировании и инженерных расчетах. Решать такие системы вручную долго и рискованно из-за высокой вероятности арифметических ошибок.
Наш бесплатный онлайн-калькулятор позволяет мгновенно найти корни системы, используя проверенные алгебраические алгоритмы. Инструмент не просто выдает ответ, но и помогает понять структуру решения через вычисление определителей.
Общий вид системы 3×3
Система из трех линейных уравнений с тремя переменными ($x, y, z$) записывается следующим образом:
$$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}$$
Где:
- $x, y, z$ — искомые переменные.
- $a, b, c$ — коэффициенты при неизвестных (числа).
- $d$ — свободные члены (числа в правой части равенства).
Как работает калькулятор: Метод Крамера
Для решения данной системы наш алгоритм использует Метод Крамера. Это один из самых изящных и наглядных способов решения квадратных систем, основанный на использовании определителей (детерминантов).
Процесс решения состоит из следующих этапов:
- Поиск главного определителя ($\Delta$): Составляется матрица из коэффициентов при переменных $x, y, z$.
- Поиск вспомогательных определителей ($\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$): Они получаются путем последовательной замены столбцов коэффициентов при соответствующей переменной на столбец свободных членов $d$.
- Вычисление корней: Если главный определитель не равен нулю, корни находятся простым делением:
$$x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, \quad z = \frac{\Delta_z}{\Delta}$$
Анализ решений системы
Важным преимуществом нашего инструмента является автоматический анализ совместимости системы. В зависимости от значения главного определителя, возможны три исхода:
| Главный определитель (Δ) | Вспомогательные (Δx,Δy,Δz) | Тип решения | Геометрический смысл |
| $\Delta \neq 0$ | Любые значения | Одно единственное решение | Три плоскости пересекаются в одной точке. |
| $\Delta = 0$ | Хотя бы один $\neq 0$ | Нет решений | Система несовместна. Плоскости параллельны и не имеют общих точек. |
| $\Delta = 0$ | Все равны 0 | Бесконечно много решений | Система неопределенна. Плоскости совпадают или пересекаются по одной прямой. |
Почему стоит использовать этот инструмент?
- Экономия времени: Решение матрицы 3×3 вручную занимает 5–10 минут. Калькулятор делает это за доли секунды.
- Обучение: Вы видите значения всех четырех определителей, что позволяет проверить свои промежуточные вычисления при выполнении домашних заданий.
- Универсальность: Поддерживаются как целые, так и дробные числа, а также отрицательные значения коэффициентов.
Введите коэффициенты вашей системы в поля выше и нажмите «Рассчитать», чтобы получить точный результат.