Калькулятор Дискриминанта и Корней Квадратного Уравнения

Наш онлайн-калькулятор — это универсальный инструмент для решения квадратных уравнений вида $ax^2 + bx + c = 0$. Он не только мгновенно вычисляет дискриминант ($D$), но также находит корни уравнения ($x_1$, $x_2$), определяет координаты вершины параболы и направление ее ветвей.

Этот калькулятор идеально подходит для школьников и студентов, которым нужно проверить свои вычисления, а также для всех, кто сталкивается с квадратными уравнениями в работе или учебе.

Что такое Дискриминант?

Дискриминант (от лат. discriminans — «различающий») — это ключевое значение, которое определяет природу и количество корней квадратного уравнения. Зная только дискриминант, мы можем сразу сказать, имеет ли уравнение два решения, одно, или не имеет действительных решений вовсе.

Формула Дискриминанта

Для стандартного квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где:

  • $a$ — старший коэффициент (при $x^2$),
  • $b$ — средний коэффициент (при $x$),
  • $c$ — свободный член,

Дискриминант ($D$) вычисляется по знаменитой формуле:$$D = b^2 — 4ac $$Наш калькулятор использует эту формулу для мгновенного расчета $D$. ### 💡 Анализ Дискриминанта: Сколько корней у уравнения? Значение $D$ является индикатором. В зависимости от того, является ли он положительным, отрицательным или равным нулю, мы можем сделать вывод о решениях уравнения. | Значение $D$ | Количество корней | Тип корней | | :— | :— | :— | | **$D > 0$** | **Два** | Два различных **действительных** (вещественных) корня. | | **$D = 0$** | **Один** | Один действительный корень (или два одинаковых). | | **$D < 0$** | **Два** | Два **комплексных** сопряженных корня (нет действительных). | ### Расчет Корней (x₁ и x₂) Наш калькулятор автоматически использует $D$ для нахождения корней ($x_1$ и $x_2$) по следующим правилам: 1. **Если $D > 0$ (Два действительных корня):** Корни находятся по полной формуле: $$

$$x\_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{D}}{2a}

$$
$$
  1. Если $D = 0$ (Один действительный корень):Формула упрощается, так как $\sqrt{D} = 0$:$$ \\ x\_1 = x\_2 = \frac{-b}{2a} $$$$$$
  2. Если $D < 0$ (Два комплексных корня):Уравнение не имеет решений в действительных числах. Однако в поле комплексных чисел корни существуют и находятся по той же формуле, используя мнимую единицу $i$ (где $i = \sqrt{-1}$):$$ \\ x\_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a} $$$$$$Наш калькулятор отобразит оба комплексных корня в понятной форме, например 2 + 3i и 2 - 3i.

Дополнительные Возможности: Анализ Параболы

Любое квадратное уравнение $y = ax^2 + bx + c$ представляет собой параболу на графике. Наш калькулятор также рассчитывает ее ключевые атрибуты:

  • Вершина Параболы ($x_v, y_v$):Это точка минимума (если ветви вверх) или максимума (если ветви вниз).$$ \\ x\_v = \frac{-b}{2a} $$$$$$$$$$y_v = a(x_v)^2 + b(x_v) + c$$ \\ $$
  • Направление Ветвей:
    • Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
    • Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Как пользоваться калькулятором

  1. Введите коэффициент $a$: Число, стоящее перед $x^2$. (Примечание: $a$ не может быть нулем).
  2. Введите коэффициент $b$: Число, стоящее перед $x$.
  3. Введите коэффициент $c$: Свободный член (число без $x$).
  4. Нажмите «Рассчитать».

Калькулятор мгновенно отобразит значение $D$, анализ корней ($D > 0, D = 0, D < 0$), сами корни ($x_1$, $x_2$) и информацию о параболе.