Что такое Наименьший Общий Знаменатель (НОЗ)?
Наименьший Общий Знаменатель (НОЗ) — это наименьшее положительное число, которое делится без остатка на все знаменатели (числа под чертой) из заданного набора дробей.
Нахождение НОЗ — это первый и самый важный шаг для выполнения операций сложения и вычитания дробей. Нельзя просто сложить $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$. Дроби должны быть приведены к «общей единице измерения». НОЗ и является этой единицей.
Наш калькулятор делает больше, чем просто находит НОЗ. Он также:
- Суммирует все введенные вами дроби.
- Упрощает итоговый результат.
- Показывает ответ в трех форматах: неправильной дроби, смешанной дроби и десятичной.
НОЗ и НОК: В чем связь?
Задача нахождения Наименьшего Общего Знаменателя (НОЗ) математически идентична задаче нахождения Наименьшего Общего Кратного (НОК) для набора чисел.
НОЗ (a, b) = НОК (a, b)
Например, для дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{5}{6}$ знаменатели — это 8 и 6. Нам нужно найти такое наименьшее число, которое делится и на 8, и на 6.
- Кратные 8: 8, 16, 24, 32, 40…
- Кратные 6: 6, 12, 18, 24, 30…
Наименьшее общее число в обоих списках — 24.
Это значит, что НОЗ(8, 6) = 24.
Как найти НОЗ (НОК) вручную
Для простых чисел подходит метод перечисления (как выше). Для более сложных чисел, например, для знаменателей 12, 15 и 20, используют метод разложения на простые множители.
- Разложите каждое число на простые множители.
- Выберите наибольшую степень каждого множителя, который встречается в любом из разложений.
- Перемножьте их.
Пример: Найти НОЗ для 12, 15, 20
| Число (Знаменатель) | Разложение на простые множители |
| 12 | 2 $\times$ 2 $\times$ 3 (или $2^2 \times 3^1$) |
| 15 | 3 $\times$ 5 (или $3^1 \times 5^1$) |
| 20 | 2 $\times$ 2 $\times$ 5 (или $2^2 \times 5^1$) |
Теперь найдем максимальные степени для каждого множителя (2, 3 и 5):
- Максимальная степень 2 — это $2^2$ (из 12 или 20).
- Максимальная степень 3 — это $3^1$ (из 12 или 15).
- Максимальная степень 5 — это $5^1$ (из 15 или 20).
$$LCD = LCM(12, 15, 20) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$$
НОЗ для этих чисел равен 60.
НОК (LCM) и НОД (GCD)
Для двух чисел $a$ и $b$ существует быстрая формула, связывающая их Наименьшее Общее Кратно (НОК) и Наибольший Общий Делитель (НОД).
$$LCM(a, b) = \frac{|a \times b|}{GCD(a, b)}$$
- GCD (Greatest Common Divisor) — это НОД (Наибольший Общий Делитель).
- LCM (Least Common Multiple) — это НОК (Наименьшее Общее Кратно).
Как наш калькулятор приводит дроби к общему знаменателю?
После того как калькулятор находит НОЗ (например, 24 для дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{5}{6}$), он рассчитывает дополнительный множитель для каждой дроби.
- Для $\frac{3}{8}$:
- $Multiplier = LCD / Denominator = 24 / 8 = 3$
- $New~Fraction = \frac{3 \times 3}{8 \times 3} = \frac{9}{24}$
- Для $\frac{5}{6}$:
- $Multiplier = LCD / Denominator = 24 / 6 = 4$
- $New~Fraction = \frac{5 \times 4}{6 \times 4} = \frac{20}{24}$
Теперь, когда обе дроби имеют общий знаменатель, их можно сложить:
$$\frac{9}{24} + \frac{20}{24} = \frac{9 + 20}{24} = \frac{29}{24}$$
Наш калькулятор автоматически выполнит этот расчет, а также покажет результат в виде смешанной дроби (1 5/24) и в виде десятичной (1.208…).